Les Mathématiques en terminale S

L'essentiel pour réussir l'épreuve du bac

Fonctions sinus et cosinus

Quelques rappels de Première.
fig8

Pour tout réel $x$:
$-1≤\cos x≤1$      $-1≤\sin x≤1$      $\cos^2 x+\sin^2 x=1$

$\cos(-x)=\cos x$      $\sin (-x)=-\sin x$

$\cos(π-x)=-\cos x$      $\sin(π-x)=\sin x$
$\cos(π+x)=-\cos x$      $\sin(π+x)=-\sin x$

$\cos({π}/{2}-x)=\sin x$       $\sin({π}/{2}-x)=\cos x$

Pour tout $k$ entier relatif       $\sin (x+2kπ)=\sin x$      $\cos (x+2kπ)=\cos x$

Pour tous réels $a$ et $b$
Formules d'addition:
$\cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\sin(a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\sin(a-b)=\sin a \cos b - \cos a \sin b$

Formules de duplication:
$\cos(2a)=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a$
$\sin(2a)=2\sin a \cos a$

Définition

La fonction sinus est la fonction définie sur $\R$ qui, à tout réel $x$ associe $\sin x$.
La fonction cosinus est la fonction définie sur $\R$ qui, à tout réel $x$ associe $\cos x$.

Propriétés

La fonction $\sin x$ admet pour dérivée $\cos x$ sur $\R$.       Ainsi: $(\sin x)\,'=\cos x$.

La fonction $\cos x$ admet pour dérivée $-\sin x$ sur $\R$.       Ainsi: $(\cos x)\,'=-\sin x$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $]-{π}/{2};-{π}/{2}[$ par $f(x)={\sin x}/{\cos x}$.
Dériver $f$.

Solution...
Corrigé

On pose $f={u}/{v}$ avec $u=\sin x$ et $v=\cos x$.
Donc $f\,'={u'v-uv'}/{v^2}$ avec $u'=\cos x$ et $v'=-\sin x$.
Et par là $f\,'(x)={\cos x × \cos x-\sin x ×(-\sin x)}/{(\cos x)^2}={\cos^2 x+\sin^2 x}/{\cos^2 x}={1}/{\cos^2x}$.

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Propriétés

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\R$.

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2π$ sur $\R$.
Par conséquent, pour tout $x$ réel et tout $k$ entier relatif, on a:
      $\sin (x+2kπ)=\sin x$       et       $\cos (x+2kπ)=\cos x$.
Et par là, dans un repère $(O,i↖{→},j↖{→})$, les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par toute translation de vecteur $k2πi↖{→}$.

La fonction sinus est impaire sur $\R$.
Par conséquent, pour tout $x$ réel, $\sin(-x)=-\sin x$.
Et par là, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine.
La fonction cosinus est paire sur $\R$.
Par conséquent, pour tout $x$ réel, $\cos(-x)=\cos x$.
Et par là, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de variation ci-dessous.
fig1 fig2


Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de signes ci-dessous.
fig3 fig4

Les fonctions sinus et cosinus vérifient les tableaux de valeurs ci-dessous.
fig5
Ces tableaux de valeurs s'étendent à $[0;π]$ en utilisant les angles associés, qui fournissent les égalités: $\sin (π-x)=\sin (x)$ et $\cos (π-x)=-\cos (x)$.

On obtient chacune des courbes ci-dessous à partir d'un tracé sur $[0;π]$, étendu par symétrie sur $[-π;π]$, et répété à l'infini par translations successives.
Ces courbes s'appellent des sinusoïdes.
fig6

Exemple

Soit $\C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0;π]$ par $f(x)=\cos^2 x+\cos(2x)$.
Conjecturer le sens de variation de $f$, puis démontrer cette conjecture.

Solution...
Corrigé

L'allure de $\C_f$, tracé ci-dessous, laisse à penser que $f$ est décroissante sur $[0;{π}/{2}]$, et croissante sur $[{π}/{2};π]$.
fig7
On pose $f=u^2+g(2x+0)$ avec $u=\cos x$ et $g(y)=\cos y$.
Donc $f\,'=2u'u+2g'(2x+0)$ avec $u'=-\sin x$ et $g'(y)=-\sin y$.
Et par là: $f\,'(x)=2×(-\sin x)×\cos x+2×(-\sin(2x))=-2\sin x\cos x-2\sin(2x)$.
On rappelle que: $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.
Donc: $f\,'(x)=-2\sin x\cos x-2×2\sin x\cos x=-6\sin x \cos x$.
Sur $[0;{π}/{2}]$, $\cos x≥0$ et $\sin x ≥0$, et par là $f\,'(x)≤0$.
Donc $f$ est décroissante sur $[0;{π}/{2}]$.
Sur $[{π}/{2};π]$, $\cos x≤0$ et $\sin x ≥0$, et par là $f\,'(x)≥0$.
Donc $f$ est croissante sur $[{π}/{2};π]$.

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Limite de référence

$\lim↙{x→0}{\sin x}/{x}=1$